SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente: 

 

1. Ecuaciones con dos incógnitas.
En este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x - 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas.
El par de valores x = 6, y = 1 es solución de esta ecuación porque 2 · 6 - 5 · 1 = 7.
Definición: Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Cabe destacar que si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos infinitas soluciones.
Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.
Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema.

 

 Ejemplo:

 

Tabla de la 1ª Ecuación

Tabla de la 2ª Ecuación

Representación gráfica de ambas ecuaciones. Aquí podemos observar cómo la solución del sistema es x=4 e y=1

2. Sistemas de ecuaciones.
Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, las ponemos de esta forma:

 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}3\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&\,x_{3}&=&1\\2\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&4\,x_{3}&=&-2\\-\,x_{1}&+&{\frac {1}{2}}\,x_{2}&-&\,x_{3}&=&0\end{array}}\right.}$

FUNCIONES CUADRATICAS

Función cuadrática

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

 

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

 

2. Puntos de corte con el eje X

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx + c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x₁, 0) y (x₂, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x₁, 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje Y

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

Ejemplo

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

x_v = − (−4) / 2 = 2     y_v= 2² − 4· 2 + 3 = −1  

 V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje X

x² − 4x + 3 = 0 

(3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)